In diesem Video soll es nun darum gehen Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert zu errechnen.

Wir haben im letzten Video schon über das charakteristische Polynomen gesehen, wie

wir an solche Eigenwerte kommen.

In diesem Video soll der Fokus nun, wie gesagt, auf den Eigenvektoren liegen und bei der Bestimmung

des Eigenraums.

Wir werden zuerst mit einem kurzen Beispiel anfangen, damit Sie einmal sehen, wie man

solch einen Eigenraum bestimmt.

Das ist eigentlich nichts Neues, eine Technik, die Sie schon im letzten Semester gesehen

haben.

Wir benutzen das Gausssche Eliminationsverfahren und bestimmen den Kern einer Matrix.

Anschließend werden wir noch einige Eigenschaften zu diesen Eigenvektoren zeigen.

Beginnen wir doch einfach mit einem Beispiel.

Das heißt, heute in diesem Video dreht sich alles um die Eigenraumbestimmung oder Bestimmung

von Eigenvektoren, können wir besser sagen.

Und ich werde in dem Beispiel annehmen, dass wir, wie im letzten Video gesehen, die Eigenwerte

schon bestimmt haben.

Das heißt, die Rechnung sparen wir uns in der Stelle.

Und wir nehmen diesmal ein 3x3 Beispiel, damit es ein bisschen anspruchsvoller ist als ein

2x2 Beispiel, damit Sie sehen, was entscheidend ist.

Also sei A in dem Fall eine reellwertige Matrix, das ist für unser Beispiel hier wichtig,

die ist 3x3.

Und die wollen wir wie folgt vorgeben.

Wir definieren uns A als eine Matrix der folgenden Gestalt.

Die hat in der ersten Zeile die Einträge 1, 2 und 0, dann im Minus 1, 0 und 1 und in der

letzten Zeile die Einträge 1, 0, 0.

Jetzt könnte man das Ganze durchexerzieren, das charakteristische Polynom aufstellen,

die Nullstellen bestimmen und wir sparen uns das, wir kürzen das Ganze ab.

Wir sagen, die Nullstellen von P, A von T sind und es sollte drei Nullstellen geben,

da das Polynom von Grad 3 ist, die erste Nullstelle haben wir berechnet als T1 ist gleich 1.

Die nächste Nullstelle ist T2 gleich und das ist jetzt spannend, die imaginäre Zahl multipliziert

mit Wurzel 2.

Wir haben jetzt hier eine komplexe Zahl erhalten als Nullstelle und T3 ist gerade gleich Minus

die imaginäre Zahl I mal Wurzel 2.

Sehen wir schon, okay, diese beiden hier, die sind ein bisschen kritisch.

Warum?

Weil wir in der letzten Video schon begründet, dass wir Skalare aus dem Körper suchen, über

dem die Matrix definiert ist und wir haben hier oben angenommen, die Matrix A sei eine

reellwertige Matrix, die auch eine Abbildung auf einen reellwertigen Vektorraum darstellt.

Dementsprechend können diese beiden Nullstellen hier keine Eigenwerte darstellen, da sie

komplexwertig sind.

Also schauen wir dazu, keine Eigenwerte da in C.

Ja, das ist ganz wichtig.

Die erste Nullstelle T1 gleich 1 ist aber ein Eigenwert, das heißt, wir erhalten hier

aus diesem hier den Eigenwert und ich nenne ihn nur Lambda gleich 1.

Man könnte natürlich jetzt das Ganze wieder eingebettet in den algebraischen Abschluss

sehen, das heißt, würden wir die Matrix A definieren als Abbildung in einem komplexwertigen

Vektorraum, dann könnte man sich diese Nullstellen T2 und T3 gleich schon anschauen und wir

hätten dann auch Eigenwerte in dem Fall.

Machen wir aber in dem Beispiel nicht, sonst müssten wir viel mehr rechnen und wir beschränken

uns nur auf den ersten Eigenwert.